Juego de fuerzas entre dos arcos

El cometido de este paseo es analizar desde el punto de vista matemático con Geogebra el conjunto de fuerzas que actúan en el equilibrio de un arco. Este equilibrio es vital si queremos que la edificación sea resistente y perdure en el tiempo, y es uno de los elementos que explica por qué han tenido éxito distintos tipos de arcos a lo largo del tiempo, y de los que tenemos en estos paseos matemáticos por Granada claros ejemplos, como son el arco de medio punto, el arco en herradura, o el arco emiral.

Para este estudio hemos seleccionado el conjunto de arcos de la planta baja de la Lonja de Mercaderes, un edificio que ha tenido distintos usos civiles, y que en la actualidad está integrado en el conjunto arquitectónico de la Catedral y Capilla Real de Granada (de hecho, es la entrada al público a la Capilla Real). Nos vamos a centrar en una de las piedras que soporta la presión de los dos arcos que conecta. Esa piedra se llama enjarje, en el lenguaje técnico.

Una vez tomada la foto, sobre ella se ha dibujado en color rojo el trazado ideal de cada arco. La piedra se asemeja un pentágono en su cara frontal, que se ha coloreado en ese mismo color. Sobre sus aristas se dibuja, en perpendicular, las fuerzas que ejercen sobre la piedra los arcos. Como se observa, el lado izquierdo tiene una desviación de 3 grados, mientras que el izquierdo se desvía 17 grados. En total una desviación de casi 20 grados donde debía ser nula. Y, sin embargo, el conjunto resiste al paso del tiempo sin problemas.

Vamos a ver de dónde viene esta desviación. En azul hemos dibujado dos líneas auxiliares, tangentes a los arcos en el punto de unión, y apreciamos que éstos se acoplan con un ángulo de casi 45 grados. Su ángulo complementario debería ser de 135 grados, pero quitándole la desviación de 20 grados, el ángulo interno del enjarje se nos queda en 115 grados, como se puede observar en la imagen.

¿Por qué de ese error? No sabemos si los maestros de obra hicieron mal los cálculos, o realizaron una aproximación a ojo. Aunque como el margen es pequeño, parece que sí tenían conocimiento del problema y hallaron una solución cercana a la óptima con los recursos que tenían en ese momento.